Galilean mechanics and thermodynamics of continua

Foreword . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi
Part 1. Particles and Rigid Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chapter 1. Galileo’s Principle of Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . .3
1.1. Events and space–time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Event coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. When? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2. Where?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Galilean transformations  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1. Uniform straight motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2. Principle of relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3. Space–time structure and velocity addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4. Organizing the calculus  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.5. About the units of measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Comments for experts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chapter 2. Statics  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Statical torsor  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1. Two-dimensional model  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2. Three-dimensional model  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3. Statical torsor and transport law of the moment  . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3. Statics equilibrium  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1. Resultant torsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2. Free body diagram and balance equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.3. External and internal forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Comments for experts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Chapter 3. Dynamics of Particles  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1. Dynamical torsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1. Transformation law and invariants  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2. Boost method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. Rigid body motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1. Rotations  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2. Rigid motions  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3. Galilean gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.1. How to model the gravitational forces? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.2. Gravitation  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.3. Galilean gravitation and equation of motion  . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.4. Transformation laws of the gravitation and acceleration  . . . . . . . . . . . 42
3.4. Newtonian gravitation  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5. Other forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.1. General equation of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.2. Foucault’s pendulum  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.3. Thrust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6. Comments for experts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Chapter 4. Statics of Arches, Cables and Beams  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1. Statics of arches  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.1. Modeling of slender bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.2. Local equilibrium equations of arches  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.3. Corotational equilibrium equations of arches . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.4. Equilibrium equations of arches in Fresnet’s moving frame  . . . . . . . . . . 63
4.2. Statics of cables  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3. Statics of trusses and beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.1. Traction of trusses  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.2. Bending of beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Chapter 5. Dynamics of Rigid Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1. Kinetic co-torsor  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.1. Lagrangian coordinates   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.2. Eulerian coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.1.3. Co-torsor  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2. Dynamical torsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.1. Total mass and mass-center . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.2. The rigid body as a particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2.3. The moment of inertia matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2.4. Kinetic energy of a body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3. Generalized equations of motion  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3.1. Resultant torsor of the other forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3.2. Transformation laws . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.3. Equations of motion of a rigid body  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.4. Motion of a free rigid body around it  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.5. Motion of a rigid body with a contact point (Lagrange’s top) . . . . . . . . . . 95
5.6. Comments for experts  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Chapter 6. Calculus of Variations  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1. Introduction  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2. Particle subjected to the Galilean gravitation  . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2.1. Guessing the Lagrangian expression  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2.2. The potentials of the Galilean gravitation  . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.3. Transformation law of the potentials of the gravitation . . . . . . . . . . . 113
6.2.4. How to manage holonomic constraints?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Chapter 7. Elementary Mathematical Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.1. Maps  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2. Matrix calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2.1. Columns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2.2. Rows  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.2.3. Matrices  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.2.4. Block matrix  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3. Vector calculus in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4. Linear algebra  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.4.1. Linear space  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.4.2. Linear form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.4.3. Linear map  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.5. Affine geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.6. Limit and continuity  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.7. Derivative  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.8. Partial derivative  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.9. Vector analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.9.1. Gradient  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.9.2. Divergence  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.9.3. Vector analysis in R3 and curl  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Part 2. Continuous Media  . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Chapter 8. Statics of 3D Continua  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.1. Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.1.1. Stress tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.1.2. Local equilibrium equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.2. Torsors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.2.1. Continuum torsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.2.2. Cauchy’s continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.3. Invariants of the stress tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Chapter 9. Elasticity and Elementary Theory of Beams . . . . . . . . 157
9.1. Strains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.2. Internal work and power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.3. Linear elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.3.1. Hooke’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.3.2. Isotropic materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.3.3. Elasticity problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.4. Elementary theory of elastic trusses and beams . . . . . . . . . . . . . 171
9.4.1. Multiscale analysis: from the beam to the
elementary volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.4.2. Transversely rigid body model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
9.4.3. Calculating the local fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.4.4. Multiscale analysis: from the elementary
volume to the beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Chapter 10. Dynamics of 3D Continua and Elementary
Mechanics of Fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10.1. Deformation and motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10.2. Flash-back: Galilean tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.3. Dynamical torsor of a 3D continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.4. The stress–mass tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10.4.1. Transformation law and invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10.4.2. Boost method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.5. Euler’s equations of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
10.6. Constitutive laws in dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10.7. Hyperelastic materials and barotropic fluids . . . . . . . . . . . . . . . 210
Chapter 11. Dynamics of Continua of Arbitrary Dimensions . . . . . 215
11.1. Modeling the motion of one-dimensional (1D)
material bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.2. Group of the 1D linear Galilean transformations . . . . . . . . . . . . 217
11.3. Torsor of a continuum of arbitrary dimension . . . . . . . . . . . . . . 219
11.4. Force–mass tensor of a 1D material body . . . . . . . . . . . . . . . . 220
11.5. Full torsor of a 1D material body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11.6. Equations of motion of a continuum of arbitrary dimension . . . . . . . . . 224
11.7. Equation of motion of 1D material bodies . . . . . . . . . . . . . . . . 225
11.7.1. First group of equations of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11.7.2. Multiscale analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
11.7.3. Secong group of equations of motion . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Chapter 12. More About Calculus of Variations . . . . . . . . . . . . . 235
12.1. Calculus of variation and tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
12.2. Action principle for the dynamics of continua . . . . . . . . . . . . . 237
12.3. Explicit form of the variational equations . . . . . . . . . . . . . . . . 240
12.4. Balance equations of the continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
12.5. Comments for experts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Chapter 13. Thermodynamics of Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.2. An extra dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
13.3. Temperature vector and friction tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
13.4. Momentum tensors and first principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
13.5. Reversible processes and thermodynamical potentials . . . . . . . . . 258
13.6. Dissipative continuum and heat transfer equation . . . . . . . . . . . . 263
13.7. Constitutive laws in thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
13.8. Thermodynamics and Galilean gravitation . . . . . . . . . . . . . . . 272
13.9. Comments for experts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Chapter 14. Mathematical Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
14.1. Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
14.2. Tensor algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
14.2.1. Linear tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
14.2.2. Affine tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
14.2.3. G-tensors and Euclidean tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
14.3. Vector analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
14.3.1. Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
14.3.2. Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
14.3.3. Vector analysis in R3 and curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
14.4. Derivative with respect to a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
14.5. Tensor analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
14.5.1. Differential manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
14.5.2. Covariant differential of linear tensors . . . . . . . . . . . . . . . . 300
14.5.3. Covariant differential of affine tensors . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Part 3. Advanced Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Chapter 15. Affine Structure on a Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . 309
15.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
15.2. Endowing the structure of linear space by transport . . . . . . . . . . 310
15.3. Construction of the linear tangent space . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
15.4. Endowing the structure of affine space by transport . . . . . . . . . . 313
15.5. Construction of the affine tangent space . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
15.6. Particle derivative and affine functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Chapter 16. Galilean, Bargmannian and Poincarean
Structures on a Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
16.1. Toupinian structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
16.2. Normalizer of Galileo’s group in the affine group . . . . . . . . . . . 323
16.3. Momentum tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
16.4. Galilean momentum tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
16.4.1. Coadjoint representation of Galileo’s group . . . . . . . . . . . . . 328
16.4.2. Galilean momentum transformation law . . . . . . . . . . . . . . . 329
16.4.3. Structure of the orbit of a Galilean momentum torsor . . . . . . . 335
16.5. Galilean coordinate systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
16.5.1. G-structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
16.5.2. Galilean coordinate systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
16.6. Galilean curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
16.7. Bargmannian coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
16.8. Bargmannian torsors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
16.9. Bargmannian momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
16.10. Poincarean structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
16.11. Lie group statistical mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
Chapter 17. Symplectic Structure on a Manifold . . . . . . . . . . . . . 367
17.1. Symplectic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
17.2. Symplectic group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
17.3. Momentum map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
17.4. Symplectic cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
17.5. Central extension of a group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
17.6. Construction of a central extension from the
symplectic cocycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
17.7. Coadjoint orbit method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
17.8. Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
17.9. Factorized symplectic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
17.10. Application to classical mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
17.11. Application to relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Chapter 18. Advanced Mathematical Tools . . . . . . . . . . . . . . . . 399
18.1. Vector fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
18.2. Lie group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
18.3. Foliation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
18.4. Exterior algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
18.5. Curvature tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41