Bulk and Boundary Invariants for Complex Topological Insulators: From K-Theory to Physics

این مونوگراف مروری بر نتایج دقیق بر روی عایق‌های توپولوژیکی فرمیونی از کلاس‌های پیچیده ارائه می‌کند، یعنی عایق‌های بدون تقارن یا فقط با تقارن کایرال. تمرکز ویژه بر روی پایداری متغیرهای توپولوژیکی در حضور بی‌نظمی قوی، بر تأثیر متقابل بین متغیرهای توده‌ای و مرزی و وابستگی آنها به میدان‌های مغناطیسی است.

بخش اول مثال‌های انگیزشی و حدس‌ها را ارائه می‌کند. ارائه شده توسط جامعه فیزیک، همراه با بررسی مختصری از دستاوردهای تجربی. بخش دوم یک رویکرد جبری عملگر را برای مطالعه عایق های توپولوژیکی بی نظم توسعه می دهد. این امر به طور طبیعی منجر به استفاده از ابزارهای تحلیلی از نظریه K و هندسه غیرتقابلی، مانند هم‌شناسی چرخه‌ای، حساب کوانتیزه شده با ماژول‌های فردهولم و جفت‌های شاخص می‌شود. نتایج جدید شامل یک فرمول استردا تعمیم یافته و اثبات ماهیت غیرمحلی حالت های سطحی در عایق های توپولوژیکی با متغیرهای غیر ضروری است. فصل پایانی ثابت‌ها را به مقادیر قابل اندازه‌گیری متصل می‌کند و بنابراین یک توصیف فیزیکی دقیق از عایق‌های توپولوژیکی پیچیده ارائه می‌کند.

این کتاب برای دانش‌آموزان پیشرفته در فیزیک ریاضی و محققین در نظر گرفته شده است.

This monograph offers an overview of rigorous results on fermionic topological insulators from the complex classes, namely, those without symmetries or with just a chiral symmetry. Particular focus is on the stability of the topological invariants in the presence of strong disorder, on the interplay between the bulk and boundary invariants and on their dependence on magnetic fields.

The first part presents motivating examples and the conjectures put forward by the physics community, together with a brief review of the experimental achievements. The second part develops an operator algebraic approach for the study of disordered topological insulators. This leads naturally to the use of analytical tools from K-theory and non-commutative geometry, such as cyclic cohomology, quantized calculus with Fredholm modules and index pairings. New results include a generalized Streda formula and a proof of the delocalized nature of surface states in topological insulators with non-trivial invariants. The concluding chapter connects the invariants to measurable quantities and thus presents a refined physical characterization of the complex topological insulators.

This book is intended for advanced students in mathematical physics and researchers alike.