Bessel Processes, Schramm–Loewner Evolution, and the Dyson Model

هدف این کتاب معرفی دو مبحث اخیر در فیزیک ریاضی و نظریه احتمال است: تکامل Schramm-Loewner (SLE) و سیستم‌های ذرات متقابل مرتبط با نظریه ماتریس تصادفی. یک نمونه معمولی از سیستم های اخیر، مدل حرکت براونی دایسون (BM) است. مدل BM SLE و Dyson را می توان به عنوان \"فرزندان\" فرآیند بسل با پارامتر D، BES(D) و مدل BM SLE و Dyson به عنوان \"نوه\" BM. در فصل 1 والدین BM در فرآیندهای انتشار روشن می شود و BES(D) برای هر D ≥ تعریف می شود. 1. وابستگی BES(D ) مسیر روی مقدار اولیه آن با جریان بسل نشان داده می شود. در فصل 2 SLE به عنوان یک پیچیده سازی BES (D) معرفی شده است. ریاضیات و فیزیک غنی درگیر در SLE به دلیل وابستگی غیر ضروری جریان بسل به D است. از یک نتیجه برای جریان بسل، فرمول کاردی به شکل کارلسون برای SLE مشتق شده است. در فصل 3 مدل BM دایسون با پارامتر β به عنوان یک پسوند چند متغیره از BES(D) با رابطه D = β + 1 معرفی شده است. کتاب بر روی موردی تمرکز دارد که β = 2 و این مورد را به سادگی مدل Dyson می نامد.

The purpose of this book is to introduce two recent topics in mathematical physics and probability theory: the Schramm–Loewner evolution (SLE) and interacting particle systems related to random matrix theory. A typical example of the latter systems is Dyson's Brownian motion (BM) model. The SLE and Dyson's BM model may be considered as "children" of the Bessel process with parameter D, BES(D), and the SLE and Dyson's BM model as "grandchildren" of BM. In Chap. 1 the parenthood of BM in diffusion processes is clarified and BES(D) is defined for any D ≥ 1. Dependence of the BES(D) path on its initial value is represented by the Bessel flow. In Chap. 2 SLE is introduced as a complexification of BES(D). Rich mathematics and physics involved in SLE are due to the nontrivial dependence of the Bessel flow on D. From a result for the Bessel flow, Cardy's formula in Carleson's form is derived for SLE. In Chap. 3 Dyson's BM model with parameter β is introduced as a multivariate extension of BES(D) with the relation D = β + 1. The book concentrates on the case where β = 2 and calls this case simply the Dyson model.