Eléments de Géométrie Algébrique I (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften)

Page de titre......Page 1
Table des matières......Page 3
Avant-propos......Page 9
Introduction......Page 12
1.1 Foncteurs représentables......Page 27
1.2 Produits fibrés dans une catégorie......Page 33
1.3 Changement de base......Page 39
1.4 Noyaux; morphisme diagonal......Page 42
1.5 Foncteurs adjoints......Page 46
1.6 Structures algébriques dans les catégories......Page 49
1.7 Morphismes fonctoriels représentables......Page 52
2.1 Espaces irréductibles......Page 56
2.3 Ensembles quasi-constructibles et ensembles constructibles......Page 63
2.4 Ensembles globalement constructibles dans les espaces noethériens......Page 66
2.5 Fonctions constructibles......Page 69
2.6 Parties très denses d'un espace topologique......Page 70
2.7 Quasi-homéomorphismes......Page 72
2.9 Espace sobre associé à un espace topologique......Page 75
2.10 Applications ouvertes en un point......Page 78
3.1 Faisceaux à valeurs dans une catégorie......Page 80
3.2 Préfaisceaux sur une base d'ouverts......Page 82
3.3 Recollement de faisceaux......Page 85
3.4 Images directes de préfaisceaux......Page 86
3.5 Images réciproques de préfaisceaux......Page 88
3.6 Faisceaux simples et faisceaux localement simples......Page 91
3.7 Images réciproques de préfaisceaux de groupes ou d'anneaux......Page 92
3.8 Quasi-homéomorphismes et images réciproques de faisceaux......Page 93
3.9 Faisceaux d'espaces pseudo-discrets......Page 94
4.1 Espaces annelés, d-Modules, d-Algèbres......Page 95
4.2 Image directe d'un d-Module......Page 102
4.3 Image réciproque d'un .?4-Module......Page 104
4.4 Relations entre images directes et images réciproques......Page 107
4.5 Immersions ouvertes et morphismes représentables par des immersions ouvertes......Page 110
5.1 Faisceaux quasi-cohérents......Page 115
5.2 Faisceaux de type fini......Page 116
5.3 Faisceaux cohérents......Page 11
5.4 Faisceaux localement libres......Page 123
5.5 Modules localement libres sur un espace localement annelé......Page 127
5.6 Groupe de Picard......Page 132
5.7 Morphismes plats d'espaces annelés......Page 134
6.1 Limites inductives d'anneaux......Page 136
6.3 Propriétés de finitude......Page 139
6.4 Critères pour qu'un anneau soit noethérien......Page 148
6.5 Anneaux normaux et fermeture intégrale......Page 153
6.6 Compléments sur la platitude......Page 160
6.7 Compléments sur les modules projectifs......Page 173
6.8 Existence d'extensions plates d'anneaux locaux......Page 176
7.1 Anneaux admissibles......Page 178
7.2 Anneaux adiques et limites projectives......Page 182
7.3 Anneaux préadiques noethériens......Page 186
7.4 Modules quasi-finis sur les anneaux locaux......Page 187
7.5 Anneaux de séries formelles restreintes......Page 188
7.6 Anneaux complets de fractions......Page 190
7.7 Produits tensoriels complétés......Page 195
7.8 Topologies sur les modules d'homomorphismes......Page 199
Sommaire......Page 201
1.1 Le spectre d'un anneau......Page 202
1.2 Propriétés fonctorielles des spectres premiers d'anneaux......Page 204
1.3 Faisceau associé à un module......Page 205
1.4 Faisceaux quasi-cohérents sur un spectre premier......Page 213
1.6 Schémas affines et morphismes d'espaces localement annelés dans des schémas affines......Page 217
1.7 Images directes et images réciproques de faisceaux quasi-cohérents par des morphismes de schémas affines......Page 220
2.1 Définition des schémas......Page 223
2.2 Faisceaux quasi-cohérents sur un schéma......Page 225
2.3 Morphismes de schémas......Page 227
2.4 Recollement de schémas......Page 230
2.5 Schémas locaux......Page 231
2.6 Schémas au-dessus d'un schéma......Page 234
2.7 Schémas noethériens et schémas localement noethériens......Page 236
3.1 Somme de schémas......Page 238
3.2 Produit de schémas......Page 239
3.3 Produit tensoriel de Modules quasi-cohérents sur un produit de schémas......Page 245
3.4 Changement de base; fibres......Page 247
3.5 Point d'un schéma à valeurs dans un schéma; points géométriques......Page 250
3.6 Morphismes surjectifs......Page 252
3.7 Morphismes radiciels......Page 254
3.8 Morphismes universellement ouverts, universellement fermés, universellement bicontinus......Page 257
3.9 Morphismes générisants......Page 260
3.10 Morphismes submersifs et universellement submersifs......Page 264
4.1 Sous-schémas......Page 265
4.2 Morphismes d'immersion......Page 268
4.3 Image réciproque d'un sous-schéma......Page 271
4.4. Immersions locales et isomorphismes locaux......Page 274
4.5. Nilradical. Schémas réduits......Page 276
4.6. Existence d'un sous-schéma d'espace sous-jacent donné......Page 281
5.1. Diagonale d'un S-schéma......Page 282
5.2. Morphismes et schémas séparés......Page 285
5.3. Critères de séparation......Page 287
5.4. Morphismes schématiquement dominants et sous-schémas schématiquement denses......Page 291
5.5. Critères valuatifs......Page 293
6.1 Morphismes quasi-compacts et morphismes quasi-séparés......Page 298
6.2 Morphismes localement de type fini et morphismes localement de présentation finie......Page 305
6.3 Morphismes de type fini et morphismes de présentation finie......Page 312
6.4 Schémas de Jacobson et anneaux de Jacobson......Page 315
6.5 Schémas algébriques et localement algébriques......Page 316
6.6 Détermination locale d'un morphisme......Page 319
6.7 Image directe d'un faisceau quasi-cohérent......Page 321
6.8 Prolongement de sections de faisceaux quasi-cohérents......Page 323
6.9 Prolongement des faisceaux quasi-cohérents......Page 324
6.10 Image schématique d'un schéma. Adhérence schématique d'un sous-schéma......Page 332
6.11 Morphismes quasi-finis......Page 333
7.1 Morphismes de présentation finie et ensembles constructibles......Page 335
7.2 Ensembles pro-constructibles et ind-constructibles......Page 339
7.3 Applications aux morphismes générisants......Page 347
8.1 Applications rationnelles et fonctions rationnelles......Page 350
8.2 Domaine de définition d'une application rationnelle......Page 354
8.3 Faisceau des fonctions rationnelles......Page 357
8.4 Faisceaux de torsion et faisceaux sans torsion......Page 358
8.5 Critères de séparation d'un schéma intègre......Page 359
9.1 Morphismes affines et spectres d'Algèbres quasi-cohérentes......Page 362
9.2 Faisceaux quasi-cohérents sur un S-schéma affine sur S......Page 369
9.3. Application aux changements de base pour les images directes de Modules quasi-cohérents......Page 371
9.4. Fibré vectoriel associé à un faisceau de modules......Page 377
9.5. Schémas en ensembles algébriques......Page 384
9.6. Schémas en groupes linéaires......Page 385
9.7. Grassmanniennes d'un Module......Page 388
9.8. Morphismes de Plücker et de Segre......Page 396
9.9. Fibrés en drapeaux......Page 404
9.10. Fibrés en variétés de Stiefel......Page 407
10.1. Schémas formels affines......Page 409
10.2. Morphismes de schémas formels affines......Page 411
10.3. Idéaux de définition d'un schéma formel affine......Page 413
10.4. Schémas formels et morphismes de schémas formels......Page 415
10.5. Idéaux de définition des schémas formels......Page 417
10.6. Schémas formels comme limites inductives de schémas......Page 419
10.7. Produit de schémas formels......Page 425
10.8. Complété formel d'un schéma le long d'un sous-schéma......Page 426
10.9. Prolongement d'un morphisme aux complétés......Page 431
10.10. Modules de présentation finie sur les schémas formels affines adiques......Page 435
10.11. Modules de présentation finie sur les schémas formels adiques......Page 441
10.12. Morphismes adiques de schémas formels......Page 444
10.13. Morphismes de type fini......Page 447
10.14. Sous-schémas fermés des schémas formels......Page 449
10.15. Schémas formels séparés......Page 452
10.16. Morphismes affines de schémas formels......Page 454
1. Spectres maximaux et ultraschémas......Page 457
2. Espaces algébriques de Serre......Page 459
Bibliographie......Page 462
Index des notations......Page 463
Index terminologique......Page 468