The Bochner-Martinelli integral and its applications

نمایش انتگرال بوشنر-مارتینلی برای توابع هولومورفیک یا متغیرهای مختلط (که قبلاً کلاسیک شده است) در آثار مارتینلی و بوشنر در آغاز دهه 1940 ظاهر شد. این اولین نمایش اساساً چند بعدی بود که در آن ادغام در سراسر مرز دامنه انجام می شود. این نمایش انتگرال دارای یک هسته جهانی 1 است (به شکل دامنه بستگی ندارد)، مانند هسته کوشی در e. با این حال، در en زمانی که n> 1، هسته بوشنر-مارتینلی هارمونیک است، اما هولومورف نیست. برای مدت طولانی، این شرایط مانع از کاربرد گسترده انتگرال بوشنر-مارتینلی در تحلیل پیچیده چند بعدی شد. مارتینلی و بوشنر از نمایش خود برای اثبات قضیه هارتگز (اسگود براون) در مورد قابلیت حذف تکینگی های فشرده توابع هولومورفیک در en در زمانی که n > 1 استفاده کردند. در دهه های 1950 و 1960، تنها آثار مجزایی ظاهر شد که رفتار مرزی بوشنر-مارتینلی را مطالعه می کردند. انتگرال های (نوع) به قیاس با انتگرال های کوشی (نوع). این مطالعه بر اساس انتگرال بوشنر-مارتینلی است که مجموع یک پتانسیل دو لایه و مشتق مماسی یک پتانسیل تک لایه است. بنابراین انتگرال بوشنر-مارتینلی دارای پرشی است که با انتگرال موافق است، اما مانند انتگرال کوشی تحت نزدیک شدن به مرز عمل می کند، یعنی تا حدودی بدتر از پتانسیل دولایه. بنابراین، انتگرال بوشنر-مارتینلی ویژگی های انتگرال کوشی و پتانسیل دو لایه را ترکیب می کند.

The Bochner-Martinelli integral representation for holomorphic functions or'sev­ eral complex variables (which has already become classical) appeared in the works of Martinelli and Bochner at the beginning of the 1940's. It was the first essen­ tially multidimensional representation in which the integration takes place over the whole boundary of the domain. This integral representation has a universal 1 kernel (not depending on the form of the domain), like the Cauchy kernel in e . However, in en when n > 1, the Bochner-Martinelli kernel is harmonic, but not holomorphic. For a long time, this circumstance prevented the wide application of the Bochner-Martinelli integral in multidimensional complex analysis. Martinelli and Bochner used their representation to prove the theorem of Hartogs (Osgood­ Brown) on removability of compact singularities of holomorphic functions in en when n > 1. In the 1950's and 1960's, only isolated works appeared that studied the boundary behavior of Bochner-Martinelli (type) integrals by analogy with Cauchy (type) integrals. This study was based on the Bochner-Martinelli integral being the sum of a double-layer potential and the tangential derivative of a single-layer potential. Therefore the Bochner-Martinelli integral has a jump that agrees with the integrand, but it behaves like the Cauchy integral under approach to the boundary, that is, somewhat worse than the double-layer potential. Thus, the Bochner-Martinelli integral combines properties of the Cauchy integral and the double-layer potential.