Recent developments in well-posed variational problems

این جلد شامل چندین نظرسنجی است که بر ایده‌های راه‌حل‌های تقریبی، موقعیت خوب و پایداری مسائل در بهینه‌سازی اسکالر و برداری، نظریه بازی و حساب تغییرات متمرکز شده‌اند. این مفاهیم در بسیاری از زمینه های ریاضیات مورد توجه خاص هستند. ایده پایداری حداقل به J. Hadamard برمی گردد که آن را در تنظیم معادلات دیفرانسیل معرفی کرد. مفهوم حالت خوب برای حداقل مشکلات جدیدتر است (اواسط دهه شصت) و از A.N. تیخونوف. به نظر می رسد که بین این دو ویژگی ارتباطی وجود دارد به این معنا که یک مسئله به خوبی مطرح شده که حداقل در اصل «حل کردن آن آسان» است، دارای مجموعه راه حلی است که در اثر اغتشاش زیاد تغییر نمی کند. داده های مشکل، یعنی \"پایدار\" است. این مضامین برای حداقل مشکلات به طور عمیق مورد بررسی قرار گرفته اند و اکنون تصویری کلی از پدیده های مرتبط در این مورد داریم. اما، البته، همان مفاهیم را می توان در موقعیت های پیچیده دیگری مانند، به عنوان مثال، مطالعه کرد. بهینه سازی برداری، نظریه بازی ها و نابرابری های متغیر. بیایید ذکر کنیم که در بسیاری از این حوزه های جدید حتی یک ایده منحصر به فرد از آنچه باید راه حل تقریبی نامیده شود وجود ندارد و مورد دوم اساس تعریف مسئله به خوبی مطرح شده است.

This volume contains several surveys focused on the ideas of approximate solutions, well-posedness and stability of problems in scalar and vector optimization, game theory and calculus of variations. These concepts are of particular interest in many fields of mathematics. The idea of stability goes back at least to J. Hadamard who introduced it in the setting of differential equations; the concept of well-posedness for minimum problems is more recent (the mid-sixties) and originates with A.N. Tykhonov. It turns out that there are connections between the two properties in the sense that a well-posed problem which, at least in principle, is "easy to solve", has a solution set that does not vary too much under perturbation of the data of the problem, i.e. it is "stable". These themes have been studied in depth for minimum problems and now we have a general picture of the related phenomena in this case. But, of course, the same concepts can be studied in other more complicated situations as, e.g. vector optimization, game theory and variational inequalities. Let us mention that in several of these new areas there is not even a unique idea of what should be called approximate solution, and the latter is at the basis of the definition of well­ posed problem.