Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction

این کتاب درسی به گروه‌های دروغ، جبرهای دروغ و بازنمایی‌های آن‌ها به شیوه‌ای ابتدایی اما کاملاً دقیق که به حداقل پیش‌نیاز نیاز دارد، می‌پردازد. به طور خاص، نظریه گروه‌های دروغ ماتریسی و جبرهای دروغ آن‌ها تنها با استفاده از جبر خطی توسعه یافته است، و انگیزه و شهود بیشتری برای اثبات نسبت به اکثر متون کلاسیک در این زمینه ارائه شده است.

علاوه بر قابل دسترس بودن آن. با بررسی نظریه پایه گروه های دروغ و جبرهای دروغ، این کتاب همچنین به دلیل موارد زیر قابل توجه است:

• بررسی فرمول بیکر-کمپبل-هاسدورف و استفاده از آن به جای قضیه فروبنیوس برای ایجاد نتایج عمیق تر در مورد رابطه بین گروه های دروغ و جبرهای دروغ
• انگیزه برای ماشین ریشه ها، وزن ها و گروه Weyl از طریق ارائه دقیق و دقیق نظریه بازنمایی sl(3;C )
• تعریفی غیر متعارف از نیمه سادگی که امکان توسعه سریع نظریه ساختار جبرهای دروغ نیمه ساده را فراهم می کند
• یک ساخت مستقل از نمایش گروه های فشرده، مستقل از استدلال های دروغ-جبری

ویرایش دوم گروه های دروغ، جبرهای دروغ، و بازنمایی ها شامل بسیاری از پیشرفت ها و اضافات اساسی است، از جمله: یک بخش کاملاً جدید اختصاص داده شده به ساختار و تئوری نمایش گروه های دروغ فشرده. مشتق کامل از خواص اصلی سیستم های ریشه؛ ساخت نمایش های محدود بعدی جبرهای دروغ نیمه ساده شرح داده شده است. درمان جبرهای پوششی جهانی، از جمله اثبات قضیه پوانکاره-بیرخوف-ویت و وجود ماژول های ورما. اثبات کامل فرمول کاراکتر ویل، فرمول بعد ویل و فرمول تعدد کوستانت.

بررسی نسخه اول:

این یک کتاب عالی سزاوار است و بدون شک تبدیل به متن استاندارد برای دوره های تحصیلات تکمیلی اولیه در نظریه گروه دروغ می شود ... یک افزوده مهم به ادبیات کتاب درسی ... به شدت توصیه می شود.

— روزنامه ریاضی

This textbook treats Lie groups, Lie algebras and their representations in an elementary but fully rigorous fashion requiring minimal prerequisites. In particular, the theory of matrix Lie groups and their Lie algebras is developed using only linear algebra, and more motivation and intuition for proofs is provided than in most classic texts on the subject.

In addition to its accessible treatment of the basic theory of Lie groups and Lie algebras, the book is also noteworthy for including:

• a treatment of the Baker–Campbell–Hausdorff formula and its use in place of the Frobenius theorem to establish deeper results about the relationship between Lie groups and Lie algebras
• motivation for the machinery of roots, weights and the Weyl group via a concrete and detailed exposition of the representation theory of sl(3;C)
• an unconventional definition of semisimplicity that allows for a rapid development of the structure theory of semisimple Lie algebras
• a self-contained construction of the representations of compact groups, independent of Lie-algebraic arguments

The second edition of Lie Groups, Lie Algebras, and Representations contains many substantial improvements and additions, among them: an entirely new part devoted to the structure and representation theory of compact Lie groups; a complete derivation of the main properties of root systems; the construction of finite-dimensional representations of semisimple Lie algebras has been elaborated; a treatment of universal enveloping algebras, including a proof of the Poincaré–Birkhoff–Witt theorem and the existence of Verma modules; complete proofs of the Weyl character formula, the Weyl dimension formula and the Kostant multiplicity formula.

Review of the first edition:

This is an excellent book. It deserves to, and undoubtedly will, become the standard text for early graduate courses in Lie group theory ... an important addition to the textbook literature ... it is highly recommended.

— The Mathematical Gazette