Spaces of PL Manifolds and Categories of Simple Maps (AM-186)

از زمان معرفی آن توسط Friedhelm Waldhausen در دهه 1970، نظریه K جبری فضاها به عنوان ابزار اصلی برای مطالعه پدیده های پارامتری شده در نظریه منیفولدها شناخته شده است. با این حال، اثبات کاملی از هم ارزی مربوط به این دو حوزه تاکنون ظاهر نشده است. این کتاب چنین اثباتی را ارائه می‌کند، که اساساً برنامه والدهاوزن را از بیش از سی سال پیش تکمیل می‌کند.

نتیجه اصلی یک قضیه h-cobordism پارامتری شده پایدار است که از یک هم‌ارزی هموتوپی بین فضایی از PL-h-cobordism مشتق شده است. در فضای X و فضای طبقه‌بندی یک دسته از نقشه‌های ساده فضاهایی که X به عنوان تغییر شکل جمع می‌شوند. نتایج هموار و توپولوژیک پس از تئوری هموارسازی و مثلث سازی دنبال می شود.

اثبات دارای دو بخش اصلی است. ماهیت بخش اول یک \"ضبط زدایی\" است که مجموعه های ساده محدود دلخواه را به چند وجهی بهبود می بخشد. بخش دوم چند وجهی را با منیفولدهای PL با روش ضخیم کردن مقایسه می کند. بسیاری از تکنیک ها و نتایج توسعه یافته باید در اتصالات دیگر مفید باشند.

Since its introduction by Friedhelm Waldhausen in the 1970s, the algebraic K-theory of spaces has been recognized as the main tool for studying parametrized phenomena in the theory of manifolds. However, a full proof of the equivalence relating the two areas has not appeared until now. This book presents such a proof, essentially completing Waldhausen's program from more than thirty years ago.

The main result is a stable parametrized h-cobordism theorem, derived from a homotopy equivalence between a space of PL h-cobordisms on a space X and the classifying space of a category of simple maps of spaces having X as deformation retract. The smooth and topological results then follow by smoothing and triangulation theory.

The proof has two main parts. The essence of the first part is a "desingularization," improving arbitrary finite simplicial sets to polyhedra. The second part compares polyhedra with PL manifolds by a thickening procedure. Many of the techniques and results developed should be useful in other connections.